Một hồ cá hình chữ nhật có một cạnh nằm sát bờ thẳng nên không cần rào cạnh đó. Dùng 100 m dây để rào ba cạnh còn lại. Tìm kích thước hồ để diện tích lớn nhất và tính diện tích ấy.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 2.2 · Kỳ thi chọn HSG Toán 9 cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2024–2025 (14/03/2025)
Cho hai số thực a, b thỏa mãn a − b = 3. Tính M = a³ − b³ − 9ab.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1.1 · Kỳ thi chọn HSG Toán 9 cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2024–2025
LEVEL 2 · 35 phút
Ba bạn Phúc, Lộc, Thọ lần lượt viết lên bảng ba số tự nhiên đôi một khác nhau, mỗi số được chọn từ 1 đến 9. Tính xác suất để số của Phúc chia hết cho số của Lộc và số của Lộc chia hết cho số của Thọ.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 2.3 · Kỳ thi chọn HSG Toán 9 cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2024–2025
LEVEL 3 · 50 phút
Cho X = {1, 2, 3, …, 100}. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu số để chắc chắn rằng:
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 4.2 · Kỳ thi chọn HSG Toán 9 cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2024–2025
Cho A = [(2x − 1 + √x)/(1 − x) + (2x√x + x − √x)/(x√x + 1)] · [(x − √x)(1 − √x)/(2√x − 1)] − 1, với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 1/4. Tìm các giá trị của x để A < −1/7.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1.1 · Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 2024–2025
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2√(abc) = 1. Tính P = √[a(1 − b)(1 − c)] + √[b(1 − c)(1 − a)] + √[c(1 − a)(1 − b)] − √(abc) + 2024.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1.2 · Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 2024–2025
Xét đa thức P(x) = x² + ax + b với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(1 + √2) = 2024 thì P(1 − √2) = 2024.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1b · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định 2024–2025
LEVEL 2 · 30 phút
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số n⁵ − 6n + 33 không thể là số chính phương.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 4a · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định 2024–2025
LEVEL 3 · 55 phút
Một bảng chữ nhật gồm 2 dòng và n cột, mỗi ô ban đầu chứa đúng một viên bi. Mỗi lần biến đổi, chọn hai ô khác nhau đang có bi; từ mỗi ô chuyển một viên bi sang một ô kề cạnh với nó. Tìm tất cả số nguyên dương n để sau hữu hạn lần biến đổi có thể đưa toàn bộ 2n viên bi về cùng một ô.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 5b · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định 2024–2025
Cho các số nguyên dương a, b sao cho a + b + 1 là một ước nguyên tố của 4(a² + ab + b²) − 3. Chứng minh rằng a + b − 1 là một ước của 4(a² + ab + b²) − 3.
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 4b · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định 2024–2025