Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1.2 · Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 2024–2025
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2√(abc) = 1. Tính P = √[a(1 − b)(1 − c)] + √[b(1 − c)(1 − a)] + √[c(1 − a)(1 − b)] − √(abc) + 2024.
Xem gợi ý và phần chữa
Từ điều kiện, hãy thử biến đổi (1 − b)(1 − c) thành bình phương của một tổng hai căn thức.
Gợi ý mạnhTa có (1 − b)(1 − c) = a + bc + 2√(abc) = (√a + √(bc))². Làm tương tự cho hai tích còn lại.
Ba căn thức cùng mở khóa
Từ a + b + c + 2√(abc) = 1, ta biến đổi
(1 − b)(1 − c) = (√a + √(bc))².
Vì a, b, c > 0, ta có √[(1 − b)(1 − c)] = √a + √(bc). Do đó √[a(1 − b)(1 − c)] = a + √(abc).
Tương tự, √[b(1 − c)(1 − a)] = b + √(abc) và √[c(1 − a)(1 − b)] = c + √(abc).
Vậy P = a + b + c + 3√(abc) − √(abc) + 2024 = a + b + c + 2√(abc) + 2024 = 2025.