Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1a · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định 2024–2025
Cho x, y > 1 thỏa mãn 1/(x + 1) + 1/(y + 1) = 5/(xy + 4). Tính A = x³ + y³ + 9xy.
Xem gợi ý và phần chữa
Quy đồng điều kiện rồi thử đưa phương trình về tích của hai biểu thức theo x + y và xy.
Gợi ý mạnhSau khi nhân chéo và thu gọn, điều kiện tương đương với (x + y − 3)(xy − 1) = 0. Hãy dùng x, y > 1 để chọn thừa số phải bằng 0.
Một phép biến đổi khóa tổng x + y
Vì x, y > 1 nên các mẫu đều dương. Nhân chéo và thu gọn điều kiện, ta được
(x + y − 3)(xy − 1) = 0.
Từ x, y > 1 suy ra xy > 1, nên xy − 1 ≠ 0. Do đó x + y − 3 = 0, hay x + y = 3.
Dùng hằng đẳng thức x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y).
Suy ra A = (x + y)³ − 3xy(x + y) + 9xy = 3³ − 9xy + 9xy = 27.