3 bài tự luận.

Điều kiện xác định là gì? Thử đưa hai vế về bình phương.

Phương trình tương đương (x−1)²=(√(2x−1)−1)². Xét đủ hai trường hợp khi hai bình phương bằng nhau.

Hai bình phương và điều kiện dấu

Điều kiện x≥1/2. Chuyển vế để nhận ra hai bình phương.

(x−1)²=(√(2x−1)−1)².

Nhánh thứ nhất: x−1=√(2x−1)−1, tức x=√(2x−1). Do x≥1/2, bình phương được x²=2x−1, nên x=1.

Nhánh thứ hai: x−1=1−√(2x−1), tức 2−x=√(2x−1). Phải có x≤2. Bình phương cho x²−6x+5=0, nên x=1 hoặc x=5; loại x=5 vì x>2.

Thay x=1 vào đề được 1−4+2+1=0. Vậy nghiệm duy nhất là x=1.

Chuyển các số hạng để xuất hiện x²y và y²−y−1.

Ta có x²y=(x+1)(y²−y−1). Dùng gcd(x²,x+1)=1 và gcd(y,y²−y−1)=1 để suy ra hai quan hệ chia hết ngược nhau.

Hai quan hệ chia hết khóa hai biến

Phương trình được viết lại dưới dạng tích.

x²y=(x+1)(y²−y−1).

Vì gcd(x²,x+1)=1, từ x+1 chia hết x²y suy ra x+1 chia hết y.

Mặt khác gcd(y,y²−y−1)=1 vì y²−y−1≡−1 (mod y). Từ y chia hết (x+1)(y²−y−1) suy ra y chia hết x+1.

Hai số dương y và x+1 chia hết lẫn nhau nên y=x+1. Thay vào đẳng thức tích và chia x+1>0: x²=(x+1)²−(x+1)−1=x²+x−1. Suy ra x=1, y=2.

Kiểm tra: 2(1+1+1)=2(4−1)=6. Vậy chỉ có (x,y)=(1,2).

Đặt hai thương là p,q. Tổng p+q có thể viết thành đa thức nào?

p+q=m²−mn+n². Từ p chia m³ suy ra p chia m; dùng tiếp p³ chia m³=p(m+n) để suy ra p chia n, rồi p chia q.

Theo một ước nguyên tố qua nhiều mắt xích

Đặt p=m³/(m+n), q=n³/(m+n), với p,q nguyên tố.

p+q=m²−mn+n².

m³=p(m+n) nên p chia m³. Vì p nguyên tố, p chia m. Do đó p³ chia m³=p(m+n), suy ra p² chia m+n. Đặc biệt p chia m+n; kết hợp p chia m được p chia n.

Do p chia cả m,n, nên p chia m²−mn+n²=p+q. Suy ra p chia q. Vì q nguyên tố và p>1, p=q.

Từ hai thương bằng nhau được m³=n³, nên m=n. Khi đó p=m²/2. Để p nguyên thì m phải chẵn; đặt m=2k, k nguyên dương, được p=2k².

p nguyên tố buộc k=1, nên m=n=2. Hai thương đều bằng 8/4=2, thỏa đề.