Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 2a · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định 2024–2025
Giải phương trình x² = (2x − 9)(√(x² + 2x − 8) − 2).
Xem gợi ý và phần chữa
Đặt t = √(x² + 2x − 8). Hãy viết x² bằng t² − 2x + 8 rồi biến đổi phương trình thành phương trình bậc hai theo t.
Gợi ý mạnhSau khi đặt t ≥ 0, phương trình trở thành t² − (2x − 9)t + 2x − 10 = 0 = (t − 1)(t − 2x + 10). Xét riêng hai nhánh và đừng quên điều kiện t ≥ 0.
Đặt căn thức làm ẩn phụ
Điều kiện xác định là x² + 2x − 8 ≥ 0. Đặt t = √(x² + 2x − 8), khi đó t ≥ 0 và t² = x² + 2x − 8.
(t − 1)(t − 2x + 10) = 0.
Từ phương trình ban đầu, chuyển vế rồi dùng t² = x² + 2x − 8, ta được t² − (2x − 9)t + 2x − 10 = 0, tức (t − 1)(t − 2x + 10) = 0.
Nếu t = 1 thì x² + 2x − 8 = 1, hay x² + 2x − 9 = 0. Suy ra x = −1 ± √10; cả hai giá trị đều thỏa phương trình ban đầu.
Nếu t = 2x − 10 thì t ≥ 0 cho x ≥ 5. Bình phương đẳng thức √(x² + 2x − 8) = 2x − 10 được x² − 14x + 36 = 0, nên x = 7 ± √13. Điều kiện x ≥ 5 chỉ giữ lại x = 7 + √13.
Vậy tập nghiệm là {−1 − √10, −1 + √10, 7 + √13}.