Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1.1 · Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 2024–2025
Cho A = [(2x − 1 + √x)/(1 − x) + (2x√x + x − √x)/(x√x + 1)] · [(x − √x)(1 − √x)/(2√x − 1)] − 1, với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 1/4. Tìm các giá trị của x để A < −1/7.
Xem gợi ý và phần chữa
Đặt t = √x. Hãy phân tích các đa thức theo t trước khi quy đồng toàn bộ.
Gợi ý mạnhVới t = √x ≥ 0, ta có 2t² + t − 1 = (2t − 1)(t + 1) và t³ + 1 = (t + 1)(t² − t + 1). Biểu thức rút gọn thành A = −1/(t² − t + 1).
Đổi căn thành một biến sạch
Đặt t = √x ≥ 0. Điều kiện trở thành t ≠ 1 và t ≠ 1/2. Sau khi phân tích nhân tử và rút gọn, ta được
A = −1/(t² − t + 1).
Ta có (2t² + t − 1)/(1 − t²) = (2t − 1)/(1 − t) và (2t³ + t² − t)/(t³ + 1) = t(2t − 1)/(t² − t + 1). Cộng hai phân thức rồi nhân với t(t − 1)(1 − t)/(2t − 1), suy ra A = −1/(t² − t + 1).
Vì t² − t + 1 > 0, bất phương trình −1/(t² − t + 1) < −1/7 tương đương t² − t + 1 < 7.
Do đó t² − t − 6 < 0, hay (t − 3)(t + 2) < 0. Kết hợp t ≥ 0, ta được 0 ≤ t < 3.
Trở lại x = t² và loại các giá trị không thuộc miền xác định: 0 ≤ x < 9, x ≠ 1/4, x ≠ 1.