Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 4b · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định 2024–2025
Cho các số nguyên dương a, b sao cho a + b + 1 là một ước nguyên tố của 4(a² + ab + b²) − 3. Chứng minh rằng a + b − 1 là một ước của 4(a² + ab + b²) − 3.
Xem gợi ý và phần chữa
Đặt p = a + b + 1. Hãy thay b ≡ −a − 1 (mod p) vào biểu thức đã cho.
Gợi ý mạnhModulo p, ta thu được 4(a² + ab + b²) − 3 ≡ (2a + 1)². Vì p là số nguyên tố, từ p | (2a + 1)² suy ra điều gì? Sau đó dùng 0 < 2a + 1 < 2p.
Ép hai biến phải bằng nhau
Đặt p = a + b + 1. Theo giả thiết, p là số nguyên tố và p chia biểu thức đã cho. Vì b ≡ −a − 1 (mod p), ta có
4(a² + ab + b²) − 3 ≡ (2a + 1)² (mod p).
Do p | (2a + 1)² và p là số nguyên tố, suy ra p | 2a + 1.
Mặt khác 0 < 2a + 1 < 2(a + b + 1) = 2p. Vì vậy bội dương duy nhất của p trong khoảng này là p, nên 2a + 1 = p = a + b + 1. Suy ra a = b.
Khi a = b, ta có a + b − 1 = 2a − 1 và 4(a² + ab + b²) − 3 = 12a² − 3 = 3(2a − 1)(2a + 1). Do đó a + b − 1 chia hết biểu thức cần xét.