CHUYÊN · TỰ LUẬN · 17/09/2026
Làm trên giấy trước khi mở phần chữa.
Nguồn: Đề thi vào 10 chuyên Toán Hà Nội 2022–2023 · Bài II.1 · Đề gốc; Vui Day biên soạn gợi ý và lời giải
Viết n=2k+1.
Gợi ý mạnh3^(2n+1)=27·81^k và 81≡1 (mod 20).
Vì n lẻ dương, n=2k+1 với k≥0 nguyên.
3^(2n+1)−7=27·81^k−7.
2n+1=4k+3, nên 3^(2n+1)=27·81^k.
81≡1 (mod 20), do đó 27·81^k−7≡27−7≡0 (mod 20).
Vậy biểu thức chia hết cho 20 với mọi n tự nhiên lẻ.
Nguồn: Đề thi vào 10 chuyên Toán Hà Nội 2022–2023 · Bài I.2 · Đề gốc; Vui Day biên soạn gợi ý và lời giải
Thay 1 bởi ab+bc+ca trong các mẫu 1+a².
Gợi ý mạnh1+a²=(a+b)(a+c). Đặt D=(a+b)(b+c)(c+a)=a+b+c−abc, rồi quy đồng.
Trước khi quy đồng, cần bảo đảm mẫu a+b+c−abc không bằng 0.
D=(a+b)(b+c)(c+a)=a+b+c−abc.
Nếu a+b=0 thì ab+bc+ca=−a²≤0, trái với 1. Tương tự b+c và c+a đều khác 0, nên D≠0.
1+a²=(a+b)(a+c). Vì thế a/(1+a²)=a(b+c)/D, tương tự với b,c.
Tổng ba phân số bằng [a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]/D=2(ab+bc+ca)/D=2/D.
Do D=a+b+c−abc, hai hạng triệt tiêu. Vậy P=0.
Nguồn: Đề thi vào 10 chuyên Toán Hà Nội 2022–2023 · Bài III.2 · Đề gốc; Vui Day biên soạn gợi ý và lời giải
Gom phần theo b và ac; cần xét dấu của 1−b.
Gợi ý mạnhP≤2b(a+c)+3ac(1−b). Tách b≥1 và 0≤b≤1; trong nhánh thứ hai dùng ac≤(a+c)²/4.
Vì ab≤2ab, ta có cận phù hợp để gom a+c và ac.
P≤2b(a+c)+3ac(1−b).
Nếu b≥1 thì 3ac(1−b)≤0, nên P≤2b(3−b)=9/2−2(b−3/2)²≤9/2<27/4.
Nếu 0≤b≤1, hệ số 1−b không âm. Dùng ac≤(3−b)²/4 được P≤2b(3−b)+(3/4)(3−b)²(1−b).
Khai triển cận: P≤27/4−b(21−13b+3b²)/4≤27/4, vì b≥0 và 21−13b+3b²≥8 trên [0,1].
a=c=3/2, b=0 cho P=3ac=27/4. Vậy giá trị lớn nhất là 27/4, đạt tại (3/2,0,3/2).