Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 1.1 · Kỳ thi chọn HSG Toán 9 cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2024–2025
Cho hai số thực a, b thỏa mãn a − b = 3. Tính M = a³ − b³ − 9ab.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Hãy viết a³ − b³ theo a − b và ab.
Gợi ý mạnh
Dùng a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b), rồi thay a − b = 3.
Giữ nguyên hiệu đã biết
Ta biến đổi hiệu hai lập phương theo đúng đại lượng đề bài đã cho:
a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b).
Thay a − b = 3 vào hằng đẳng thức, ta có a³ − b³ = 3³ + 3ab·3 = 27 + 9ab.
Do đó M = 27 + 9ab − 9ab = 27.
BÀI 735 PHÚTLEVEL 2
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 2.3 · Kỳ thi chọn HSG Toán 9 cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2024–2025
Ba bạn Phúc, Lộc, Thọ lần lượt viết lên bảng ba số tự nhiên đôi một khác nhau, mỗi số được chọn từ 1 đến 9. Tính xác suất để số của Phúc chia hết cho số của Lộc và số của Lộc chia hết cho số của Thọ.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Không gian mẫu là các bộ ba có thứ tự và đôi một khác nhau. Với các bộ thuận lợi, hãy chọn số của Lộc trước.
Gợi ý mạnh
Có 9·8·7 bộ có thể xảy ra. Liệt kê các chuỗi chia hết nghiêm ngặt P > L > T trong tập {1,…,9}.
Đếm các chuỗi chia hết
Mỗi kết quả là một bộ có thứ tự (P,L,T) gồm ba số đôi một khác nhau.
|Ω| = 9·8·7 = 504.
Nếu L = 2 thì T = 1 và P có thể là 4, 6, 8: được 3 bộ.
Nếu L = 3 thì T = 1 và P có thể là 6, 9: được 2 bộ.
Nếu L = 4 thì T có thể là 1 hoặc 2, còn P chỉ có thể là 8: được 2 bộ. Các giá trị L khác không tạo thêm bộ nào.
Có tất cả 7 kết quả thuận lợi. Xác suất cần tìm là 7/504 = 1/72.
BÀI 650 PHÚTLEVEL 3
Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 4.2 · Kỳ thi chọn HSG Toán 9 cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2024–2025
Cho X = {1, 2, 3, …, 100}. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu số để chắc chắn rằng:
a) Trong các số đã lấy có 5 số tự nhiên liên tiếp.
b) Trong các số đã lấy có 2 số có tổng chia hết cho 5.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Ở câu a, chia X thành 20 khối, mỗi khối gồm 5 số liên tiếp. Ở câu b, phân các số theo số dư modulo 5.
Gợi ý mạnh
Muốn chứng minh một con số là nhỏ nhất, cần làm hai việc: chỉ ra lấy đến mức ấy thì chắc chắn có; đồng thời dựng một tập ít hơn một phần tử mà vẫn chưa có. Với câu b, ghép các lớp dư 1 với 4, 2 với 3, và xét riêng lớp dư 0.
Chặn trên và dựng trường hợp sát
Ta tìm kích thước lớn nhất của một tập con vẫn tránh được cấu hình bị yêu cầu; đáp án sẽ lớn hơn kích thước đó đúng một đơn vị.
100 = 20·5.
Câu a: chia X thành 20 khối {1,…,5}, {6,…,10}, …, {96,…,100}. Nếu lấy 81 số thì có một khối được lấy đủ cả 5 số, nên xuất hiện 5 số liên tiếp.
Ngược lại, lấy trong mỗi khối bốn số đầu tiên thì được 80 số nhưng không có 5 số liên tiếp. Vậy đáp án câu a là 81.
Câu b: mỗi lớp dư modulo 5 có 20 số. Để không có hai số có tổng chia hết cho 5, ta lấy nhiều nhất 1 số dư 0; trong hai lớp dư 1 và 4 chỉ được dùng một lớp, nhiều nhất 20 số; tương tự với hai lớp dư 2 và 3. Vì thế lấy nhiều nhất 1 + 20 + 20 = 41 số mà vẫn tránh được yêu cầu.
Mốc 41 đạt được, chẳng hạn lấy số 5 cùng tất cả các số dư 1 và dư 2 modulo 5. Do đó khi lấy 42 số thì chắc chắn có hai số có tổng chia hết cho 5, và 42 là nhỏ nhất.