Cho n là một số nguyên. Chứng minh rằng n³ − n luôn chia hết cho 6.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Phân tích n³ − n thành tích ba số nguyên liên tiếp.
Gợi ý mạnh
Viết n³ − n = (n − 1)n(n + 1). Trong ba số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn và một số chia hết cho 3.
Ba số nguyên liên tiếp
Ta phân tích biểu thức thành
n³ − n = (n − 1)n(n + 1).
Trong ba số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1 có ít nhất một số chẵn, nên tích chia hết cho 2.
Cũng trong ba số ấy có đúng một số chia hết cho 3, nên tích chia hết cho 3.
Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 6. Do đó n³ − n chia hết cho 6.
BÀI 535 PHÚTLEVEL 2
Nguồn chưa xác định
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x² + y² chia hết cho 3. Chứng minh rằng cả x và y đều chia hết cho 3.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Hãy liệt kê các số dư có thể có của một số chính phương khi chia cho 3.
Gợi ý mạnh
Bình phương modulo 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Tổng hai bình phương chia hết cho 3 chỉ xảy ra khi cả hai cùng dư 0.
Khóa bằng số dư bình phương
Xét x và y theo modulo 3. Bình phương của một số nguyên chỉ có thể nhận các số dư
x², y² ≡ 0 hoặc 1 (mod 3).
Nếu x không chia hết cho 3 thì x² ≡ 1 (mod 3); tương tự với y.
Vì x² + y² ≡ 0 (mod 3), tổng hai số dư chỉ có thể là 0 + 0. Các khả năng 0 + 1 và 1 + 1 lần lượt dư 1 và 2 modulo 3.
Suy ra x² ≡ y² ≡ 0 (mod 3), nên x và y đều chia hết cho 3.
BÀI 455 PHÚTLEVEL 3
Nguồn chưa xác định
1) Cho p, q là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p⁴ + 2019q⁴ chia hết cho 20.
2) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a < b ≤ c < d; ad = bc và √d − √a ≤ 1.
a) Chứng minh a + d > b + c.
b) Chứng minh a là một số chính phương.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Ở câu 1, xét lũy thừa bậc bốn theo modulo 20. Ở câu 2a, từ ad = bc hãy đưa b/a và d/c về cùng một tỉ số lớn hơn 1.
Gợi ý mạnh
Đặt b/a = d/c = r > 1 để phân tích a + d − b − c. Sau đó dùng tính nguyên để nâng a + d > b + c thành a + d ≥ b + c + 1, kết hợp b + c ≥ 2√(bc) = 2√(ad).
Tính nguyên ép dấu bằng
Hai ý đầu chuẩn bị đúng những mắt xích cần thiết cho kết luận cuối: đồng dư ở câu 1, rồi tỉ lệ và điều kiện xảy ra dấu bằng ở câu 2.
a + d − b − c = (r − 1)(c − a), với r = b/a = d/c > 1.
Vì p, q là số nguyên tố lớn hơn 5 nên đều nguyên tố cùng nhau với 20. Do đó p⁴ ≡ q⁴ ≡ 1 (mod 20). Lại có 2019 ≡ −1 (mod 20), suy ra p⁴ + 2019q⁴ ≡ 0 (mod 20).
Từ ad = bc, đặt r = b/a = d/c. Vì a < b nên r > 1. Khi đó a + d − b − c = a + cr − ar − c = (r − 1)(c − a) > 0, do c ≥ b > a. Vậy a + d > b + c.
Các số đều nguyên nên a + d ≥ b + c + 1. Mặt khác b + c ≥ 2√(bc) = 2√(ad). Suy ra a + d ≥ 2√(ad) + 1, hay (√d − √a)² ≥ 1.
Vì d > a nên √d − √a ≥ 1. Kết hợp giả thiết √d − √a ≤ 1, ta được √d − √a = 1. Mọi bất đẳng thức trên đều là dấu bằng; đặc biệt b + c = 2√(bc), nên b = c.
Do ad = bc và b = c, ta có b = √(ad). Đặt x = √a thì √d = x + 1 và b = x(x + 1). Vì a = x², suy ra x = b − a là số nguyên. Vậy a = x² là một số chính phương.