Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số n(n + 1)(2n + 1) luôn chia hết cho 6.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Hãy tách 6 thành 2 · 3 và xử lí từng ước.
Gợi ý mạnh
Tích n(n + 1) luôn chẵn. Với 3, xét ba khả năng của n khi chia cho 3.
Tách 6 thành hai mục tiêu
Ta chứng minh biểu thức chia hết cho 2 và cho 3.
n(n + 1)(2n + 1)
Hai số n và n + 1 liên tiếp nên một trong hai số chẵn. Do đó tích chia hết cho 2.
Nếu n ≡ 0 (mod 3) thì n chia hết cho 3. Nếu n ≡ 1 (mod 3) thì 2n + 1 ≡ 0 (mod 3). Nếu n ≡ 2 (mod 3) thì n + 1 ≡ 0 (mod 3).
Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau, biểu thức chia hết cho 6.
BÀI 135 PHÚTLEVEL 2
Nguồn: Bài toán số học cổ điển · Vui Day biên tập
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p² − 1 chia hết cho 24.
Xem gợi ý và phần chữaGợi ý nhẹ
Phân tích p² − 1 thành tích hai số nguyên liên tiếp quanh p.
Gợi ý mạnh
p − 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp; một trong hai chia hết cho 4. Trong ba số p − 1, p, p + 1 có một số chia hết cho 3.
Nhìn vào hai hàng xóm của p
Ta có phép phân tích
p² − 1 = (p − 1)(p + 1).
Vì p lẻ nên p − 1 và p + 1 đều chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp này, một số chia hết cho 4; vì thế tích chia hết cho 8.
Ba số p − 1, p, p + 1 liên tiếp nên có một số chia hết cho 3. Do p là số nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 3; vậy p − 1 hoặc p + 1 chia hết cho 3.
Tích chia hết cho 8 và 3; vì (8,3)=1 nên p² − 1 chia hết cho 24.