3 bài tự luận.

Khai triển P(1 + √2) rồi gom riêng phần hữu tỉ và hệ số của √2.

Ta có P(1 + √2) = (a + b + 3) + (a + 2)√2. Vì √2 vô tỉ và kết quả là số nguyên, hệ số của √2 phải bằng 0.

Tách phần hữu tỉ và phần vô tỉ

Khai triển tại 1 + √2, ta được

P(1 + √2) = (a + b + 3) + (a + 2)√2.

Từ P(1 + √2) = 2024 suy ra (a + 2)√2 = 2021 − a − b. Hai vế lần lượt là một bội nguyên của số vô tỉ √2 và một số nguyên.

Do đó a + 2 = 0 và 2021 − a − b = 0. Suy ra a = −2, b = 2023.

Thay vào P(1 − √2): P(1 − √2) = (1 − √2)² − 2(1 − √2) + 2023 = 2024.

Hãy xét biểu thức theo modulo 5 và nhớ các số dư có thể có của một số chính phương.

Theo định lí Fermat nhỏ, n⁵ ≡ n (mod 5). Vì vậy n⁵ − 6n + 33 có một số dư cố định khi chia cho 5.

Một số dư bị số chính phương cấm

Xét biểu thức theo modulo 5. Theo định lí Fermat nhỏ, với mọi số nguyên n ta có

n⁵ ≡ n (mod 5).

Từ n⁵ ≡ n (mod 5), suy ra n⁵ − 6n + 33 ≡ n − 6n + 33 ≡ 3 (mod 5).

Mặt khác, một số nguyên khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1, 2, 3 hoặc 4; bình phương tương ứng chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4.

Vì 3 không phải số dư của một số chính phương modulo 5, n⁵ − 6n + 33 không thể là số chính phương.

Tô bảng như bàn cờ. Hãy theo dõi tính chẵn lẻ của số bi nằm trên mỗi màu sau một lần biến đổi.

Mỗi viên bi được chuyển sang ô khác màu, nên số bi trên các ô đen thay đổi một số chẵn. Điều này loại n lẻ. Với n chẵn, hãy dồn đồng thời hai đầu của hai hàng vào bảng con 2 × 2 ở giữa.

Bất biến để loại, xây dựng để nhận

Tô đen trắng xen kẽ các ô như bàn cờ và gọi B, W là tổng số bi đang nằm trên các ô đen, trắng.

B ≡ n (mod 2), W ≡ n (mod 2) sau mọi lần biến đổi.

Mỗi lần biến đổi, hai viên bi đều chuyển sang ô khác màu. Vì thế B thay đổi bởi −2, 0 hoặc 2; tính chẵn lẻ của B và W được bảo toàn. Ban đầu B = W = n.

Nếu n lẻ thì B và W luôn lẻ, nên luôn còn bi trên cả hai màu. Không thể dồn tất cả vào một ô. Vậy n phải chẵn.

Giả sử n chẵn. Trên cả hai hàng, đồng thời dồn từng ô ở mép phải sang trái cho tới hai cột giữa; rồi đồng thời dồn từng ô ở mép trái sang phải. Sau hữu hạn lần, bi chỉ còn trong bảng con 2 × 2 ở giữa và mỗi ô giữa chứa n/2 viên.

Gọi bốn ô giữa là A, B ở hàng trên và C, D ở hàng dưới. Thực hiện n/2 lần phép chuyển B → A và C → D; khi đó A, D mỗi ô có n viên, còn B, C trống. Tiếp theo thực hiện n lần phép chuyển A → C và D → C. Vì C kề cạnh với cả A và D, cuối cùng cả 2n viên bi nằm ở C.

Vậy các giá trị cần tìm là mọi số nguyên dương chẵn n.