Nguồn: Vui Day biên tập từ Câu 5a · Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nam Định năm học 2024–2025
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx ≤ xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = xy² + yz² + zx² − 18(x + y + z).
Xem gợi ý và phần chữa
Chia điều kiện cho xyz. Sau đó tìm cách so sánh xy² + yz² + zx² với (x + y + z)².
Gợi ý mạnhTừ điều kiện có 1/x + 1/y + 1/z ≤ 1. Áp dụng Cauchy–Schwarz cho hai bộ (1/x, 1/y, 1/z) và (xy², yz², zx²).
Đưa ba biến về một tổng
Chia giả thiết cho xyz > 0, ta được
1/x + 1/y + 1/z ≤ 1.
Theo Cauchy–Schwarz, (1/x + 1/y + 1/z)(xy² + yz² + zx²) ≥ (x + y + z)².
Vì 0 < 1/x + 1/y + 1/z ≤ 1, suy ra xy² + yz² + zx² ≥ (x + y + z)².
Đặt S = x + y + z. Khi đó Q ≥ S² − 18S = (S − 9)² − 81 ≥ −81.
Với x = y = z = 3, giả thiết được thỏa mãn vì xy + yz + zx = xyz = 27, đồng thời Q = −81. Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là −81.